Structura algebrica de inel s-a degajat initial in cadrul teoriei numerelor, unde a aparut sub numele de inel de numere, prototipul fiind Z luat impreuna cu o operatie de adunare si inmutire a numerelor intregi.

Z x Z -> Z, (x,y) ---> x + y
respectiv
Z x Z --> Z, xy

Ulterior, notiunea de inel a avut numeroase aplicatii in diferite domenii ale Algebrei (inele de polinoame, inele de matrice), in Analiza Matematica (inele de functii), in Logica Matematica (inele boolene).

Definitie

O multime nevida A, luat impreuna cu doua legi de compozitie (adunarea si inmultirea)

A x Z -> A, (x,y) ---> x + y
respectiv
A x A --> A, (x,y), xy

se numeste inel daca:

G) (A,+) este grup abelian M) (A,*) este monoid, D) inmultirea este distributiva fata de adunare, anume:

x(y+z) = xy + xz, (y + x)x = yx + zx , oricare ar fi x,y,z din A.

Afirmatia ca (A,+) este grup abelian revine la faptul ca adunarea inelului satisface axiomele:

  • G1) (x + y) + z = x + (y + z), oricare ar fi x,y,z din A.
  • G2) exista 0 apartine lui A a.i.0 + x = x + 0 = x oricare x din A
  • G3) oricare ar fi x din A, exista un x’din A, astfel incat x’+x = x + x’ = 0
  • G4) x + y = y + x, x,y din A

Afirmatia (A,*) este monoid revine la faptul ca inmultirea inelului satisface axiomele:

  • M1) (xy)z = x(yz)
  • M2) exista 1 apartine lui A a.i. 1 * x = x * 1=x, oricare ar fi x din A

Vom spune ca (A,+) este grupul aditiv al inelului A. Ansamblul de conditii G1-G4 si M1, M2 si D poarta numele de axiomenele inelului. Elementele 0 si 1 sunt unic determinate si se numeste elementul zero, respectiv elementul unitate al inelului A. Inelul se numeste finit daca are un numar finit de elemente. Elementele x din A simetrizabile in raport cu inmultirea se numesc elemente inversabile sau unitati ale inelului.

Daca inmultirea inelului satisface si conditia:

  • M3) xy = yx oricare x,y din A spunem ca inelul este comutativ.

Definitie:

Spunem ca A este inel fara divizori ai lui zero daca x!=0 si y!=0 => xy != 0

Un inel comutativ cu cel putin doua element si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate.

Reguli de calcul intr-un inel

Exemples:

  • 1) Inelul (Z,+,*) al intregilor rationali.
  • 2) Inelul Z[i] al intregilor lui Gauss. Fie Z[i] multimea tuturor numerelor complexe de forma a + bi, cu a si b din Z, numite intregi ai lui Gauss. Daca a + bi si c + di din Z[i], atunci:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i apartine lui Z[i]
si
(a + bi) + (c + di) = (ac - bd) + (bd + bc)i apartine lui Z[i]

Rezulta ca Z[i] este parte stabila a lui C in raport cu adunarea si inmultirea numerelor complexe. Evident operatiile induse verifica axiomele G1,G4,M1,M3 si D. Cum 0 = 0 + 0 i si 1 = 1 + 0 i rezulta ca aceste operatii verifica si axiomele G3 si M2. In fine, pentru orice z = a + bi din Z avem -z = (-a) + (-b)i din Z[i], deci este verificata si axioma G2. Asadar Z[i] este inel comutativ in raport cu operatiile induse pe Z[i] de adunare si inmutirea numerelor complexe, numit inelul intregilor lui Gauss.

  • 3) Inelul (Rn,&,%) claselor de resturi modulo n.

  • 4) Inelul matricelor patratice.

Corpuri

Un cadru ideal pentru perfectionarea calculelor algebrice este dat de inelele cu proprietatea ca orice element diferit de 0 este simetrizabil in raport cu inmultirea. Asemenea inele sunt cunoscute sub numele de corpuri.

Definitie:

Un inel K se numeste corp daca 0!=1 si orice element x apartine lui K, x!=0 este simetrizabil in raport cu inmultirea.

oricarea ar fi x din k, x!=0 => exista x^-1x = xx^-1 = 1

Un corp se numeste comutativ daca inmultirea sa este comutativa.

Proprietati:

1) Corpurile nu au divizori ai lui zero. Intr-adevar daca x,y apartin lui K si x!=0 si y!=0, atunci xy!=0 caci daca xy=0 deducem y = 1y = (x^-1x)y = x^-1(xy) = 0, deci y = 0, contradictie.

2) Elementele diferite de zero dintr-un corp formeaza grup fata de inmultire. Intr-adevar, fi K un corp si K* = K \ {0}. din proprietatea 1 rezulta ca K * este parte stabila a lui K in raport cu inmultirea. Cum 1!=0 rezulta ca 1 apartine lui K *. Atunci x!=0 este asociativa si admite pe 1 ca element neutru. Fie x apartine lui K *. Atunci x!=0 si fie x^-1 inversul in raport cu inmultirea in K. Cum x^-1x =1 !=0 rezulta ca x^-1 != 0 deci x^-1 apartine lui K *. Evident x^-1 este inversul lui x si in raport cu operatia indusa. Deci (K *,.)este grup, numit grupul multiplicativ al corpului K.

Exemple:

1) (R,+,.) Corpul numerelor reale 2) (Q,+,.) Corpul numerelor rationale, 3) (C,+,.) Corpul numerelor complexe 4) Corpurile numerelor patratice Q(sqrt(d)) 5) Corpul Zp al claselor de resturi modulo p.